2024/7/7

【高校3年-9月】基礎学力到達度テスト 文系数学の傾向と対策

こんにちは。究進塾 編集部です。今回は高校3年生の9月に実施される、基礎学力到達度テストの、文系数学の概要と傾向の解説です。

基礎学力到達度テストとは、日大付属高校の生徒は、内部進学するためには受けなければいけません。

難易度、出題範囲などについてご紹介します。

📝この記事のポイント
・出題の内容と難易度
・おすすめの問題集と勉強のやり方
・必要な勉強期間、1日の勉強時間
・くわしい大問内容と頻出問題

はじめに
こちらの記事は、究進塾の講師、久松真人先生の解説動画を参考に、解説しています。音声を聞ける環境の方はぜひ動画をご覧頂き、久松先生の講義の雰囲気を掴んでいただければと思います。

動画紹介
【究進塾】基礎学対策チャンネル
【2022年版】高3-9月 基礎学力到達度テスト 文系数学の傾向と対策(所要時間: 38分29秒)

講師:久松真人

東京工業大学卒業。東京工業大学大学院数学研究科博士課程修了。数学に特化した講師です。大学受験はもちろん、大学授業補習、大学院入試のサポートにも熟練しています。また、大学の情報系科目のサポートも経験があります。穏やかな性格と柔らかい雰囲気、丁寧な指導、そして数学愛が溢れる、おすすめ講師です。☆大学授業補習の詳細はこちら

 

文系数学の難易度

この記事を見ている人は、おそらく、

・高校3年生でテストが控えている人
・現在高校2年生で来年受ける人

こうした人だと思います。

すでに1度は基礎学のテストを受けたことがあり、問題のレベルや雰囲気は、何となくわかっていると思います。

難易度はそれほど難しくなく、場合によっては、定期テストの方が難しいかもしれません。教科書の章末問題レベルが出題され、応用で紹介されるような問題は一切出さないような作りになっています。

出題範囲

〇出題される範囲
全分野から広く浅く、まんべんなく出題されます。

文系の場合、数ⅠA、数ⅡBが出題の対象ですが、その範囲で目につくところはおよそ全て出ます。

〇出題されない分野
マークシートと相性が悪い等式・不等式の証明などと言われますが、単元によっては1題ずつは出題されます。

〇ポイント
「ここはやらなくていいや」という箇所がないので、出題範囲が非常に広いです。そのため、対策を始めるのは早めがいいです。定期テストのように、試験の1週間前から始めて間に合うような試験ではありません。

対策用問題集と進め方

<おすすめの問題集>

基礎学の対策には、過去問題集が最適です。出題形式が毎年ほとんど変わらないためです。

しかし、過去問題集をいきなり解いて出来るのであればそれで良いですが「何のことだかさっぱりわからない」という場合には、

・学校の教科書の練習問題
・章末問題
・準拠問題集の基本問題

これらがおすすめです。

<対策の進め方>

基礎から学ぶ必要がある場合、一番ベーシックになるのは教科書です。

(1)教科書を読んで解法を理解する
(2)その後、例題を見ながら解法を自分でなぞれるようにする
(3)また練習問題を繰り返す

この流れを繰り返します。

やり方がわかってきたら、

・章末問題を解いてみる
・学校で配られる教科書準拠問題集の基本問題の部分を繰り返し解く

この方法がいいと思います。準拠問題集のうち、応用問題まではやらなくていいです。

<教科書を見てもわからなかった場合>

学校で使っている教科書によっては、本当はどこが重要なのか若干見えづらいことがあるかもしれません。

もし「教科書を見てもわからない」という問題にぶつかったら、もう少しやさしく解説してくれるシグマベストシリーズを見てみると良いかもしれません。

シグマベストシリーズ
これでわかる数学ⅠA
これでわかる数学ⅡB

参考書は人によって相性があるので、合わないと感じたら、書店で色々立ち読みして、自分に合いそうなものを選ぶのが良いでしょう。

学習方針

いきなり過去問が解ける人
過去問を解いて、いきなりある程度解ける人なら、そのまま練習を進めても良いでしょう。


数学が苦手な人

・数学が苦手
・苦手分野がある
・基本を身につけておきたい

こうした場合におすすめのやり方は、教科書の練習問題を、いったん全部自分で解いてみることです。それから過去問を解いて出題形式を把握し、わからなかった部分は、また教科書に戻り、確認したら過去問に戻り…これを繰り返します。

数学は「考える教科」と言われますが、ゼロから考えて全てわかるはずがありません。それができるのは、その分野を作った昔の数学者と同等の脳みそを持っている人です。

大体の人はそうではありません。まずは、お手本を真似できる域まで達するようにしましょう。

教科書を有効に使う

その為に良い方法が、教科書の練習問題を1周するというやり方です。

教科書の練習問題は、大体の場合、直前に必ず例題と解法があります。それをお手本にしながら自分で再現できるように練習を繰り返すのが一番です。

やり方が身についたと思ったら過去問を解いて、それできればよし。できないとしたら、よくわかっていないところがあるはずなので、また教科書に戻り、もう1度やってみましょう。

練習するときに気を付けることちなみにこの練習法ですが、解法や例題のやり方をそのまま丸暗記してしまうのは、必ずしも良いことではありません。

最初は真似から始まりますが、その例題の解答を読むとき「どうしてそういうことをやっているのか」を意識し、常に考えるようにしてください。

「数学の問題や解答を理解する」というのは、その「理由」の部分なんです。書いてある文章を丸暗記して、そのまま流すというやり方をしていたら、少しでも変わったときに使えないことになってしまいます。

「何故そういうことをやっているんだろう」

ということを、常に一生懸命考えるようにしてください。そういうのが「数学の勉強」というものだと思います。

ちゃんと理解できるようになれば、過去問を解いてみたときにも、きっと楽勝でできるようになるはずです。

学習を仕上げるのにかかる時間

人によりけりですが、数学がそれなりに得意だった人、平均点は取れていた人なら、そんなに時間はかからないと思います。思い出せばある程度できるようになるはずです。

ただ、数学で物凄く高得点を狙いたい人は、細かいところを詰めていく作業が必要なので、その分は少し大変かもしれません。

< 8割程度得点したいときに必要な時間数>

例えば、生徒の今のレベルと目標を、以下のように仮定します。

・もともと平均点程度を得点できていた
・大体8割くらいを超えたい
・一般受験の人たちと同等の頑張りで勉強した

この場合は、おそらく3ヶ月ぐらいで、8割程度を得点できる域に達するのではと思います。

ですが、数学も他の科目と同様、やはり得意不得意があります。そういう理由で残念なことに、同じ勉強量でもみんな同じだけできるようになるわけでもありません。

自分が「数学は苦手だ」と自覚している人は、数学が得意な人より多く勉強しなければと見越して、6ヶ月は見ておくといいと思います。

あるいは自問自答して「6ヶ月でも足りないかもしれない」と思ったら、もっと早くから準備を始めた方がいいでしょう。

1日の勉強時間の目安

個人的におすすめする目安時間は、1日1時間~2時間程度です。

世の一般的な受験生は、凄くたくさん勉強していると思いますが、日大の基礎学で内部進学するとなると、正直、それと同等に必死でやる必要はないかもしれません。

もちろん、勉強した時間は、その分だけ自分の血肉になるので、頑張れる人はたくさん頑張ると、非常に良いと思います。

ただ、そうだとしても「最低これくらいはやった方がいい」という目安として、1日1時間~2時間程度をおすすめします。

内部進学とはいえ、受験生だからこれぐらいは勉強してほしいと感じます。「一般受験生はもっと大変だから、せめてこのぐらいはやろう」という、目安時間になります。

過去の出題傾向

5年分の過去問題から、どんな分野から出題されたのかという傾向を見ていきます。

大問数:8問
ここ数年はずっと変わっていません。令和2年から1題分減っていますが、分量は大して変わらず、毎年同じように出ています。

文系数学の9月は、大問8に特徴があり、ベクトルと数列が1年おきに交互に出題されます。

令和3:ベクトルの長さ・内積、内分点・内積
令和2:等差数列の一般項、等差数列の一般項、分数型の数列の和
令和元:ベクトルの和・内積、ベクトルの平行条件、内分点・直線の交点とベクトル
平成30:等差数列の一般項、等差数列の和・Σの計算、漸化式の解法
平成29:ベクトルの内積・長さ、内分点、線分比

しかし、数列だった年は「大問1:小問集合」でベクトル、「大問8:ベクトル」だった年は、小問集合に数列の問題が出ます。したがって、大問8に一方が出そうだからといって、もう一方を一切やらなくていいということにはなりません。

大問1:小問集合
毎年決まって小問集合です。(1)〜(6)に、それぞれの分野から少しずつ出題されます。

(1)はルートの計算、それを使った対称式の利用などが多く出題されます。「\(x\)と\(y\)がそれぞれルートを使った式でかけているときに、\(x^2\)+\(y^2\)の値を求めよ。」などの問題です。\(x^3\)の出題はなかったと思います。

(2)は箱ひげ図で、これも実績的には毎年出ています。令和3年には、2進数で表された数字を「10進数に直すとどうなるか」という出題がありました。

(4)は多項式です。具体的な式があり、多項式で割ると商と余りは何になるかを計算する問題が、ほぼ毎年出ています。

(5)は正弦定理です。とにかく1題は正弦定理、余弦定理のどちらかを使う問題が毎年ほぼ必ず出るので、きちんと対策する必要があります。

そして大問がベクトルの年には、小問集合の最後に数列の出題がありました。「等差数列の一般項を求めなさい」という問題です。これは小問集合に入ってないときも、大問8で出題があり、とにかく毎年のように出ているので、きちんと押さえておきましょう。

大問2:放物線
年度にもよりますが、数Ⅰの二次関数、「放物線の頂点の座標を求めなさい。」という問題が毎年あります。平方完成すると頂点の座標がわかる問題ですが、確実にできるようにしてください。

最大・最小値を求める出題もあります。

二次関数のグラフを平行移動する問題も毎年聞かれます。平行移動しておしまいなら簡単ですが、平行移動し終わったところで放物線が切り取る長さを求める、複合的な問題になっています。

この辺りもやはり以前に出題があった問題なので、やり方や原理、手順を知っていれば、そんなに苦労せず答えられるはずです。

大問3:確率
4月の基礎学に確率は出ませんが、9月で出題があります。1年生で習う分野なので、思い出しておく必要があります。

ただ、文系の確率はすごく簡単な問題しか出ないので、最終手段としては「全部書く」ということができます。全部書いても大した数になりません。全体の数がすごく多くなる問題だとそれはできませんが、せいぜい30種類とか、25種類くらいで済むことが多いです。

その25個分、全部書ければ、その中からカウントするだけで答えることも可能です。確率が苦手でも、諦めないでやってみてください。

大問4:円の問題
円の中心と半径について求める問題です。これも毎年出ます。4月の基礎学にも同じような問題が出ているはずです。

一通り勉強しているとは思いますが、毎年聞かれることが決まっているので、ちゃんとできるように練習しておくべき項目です。出ることがわかっているのに練習してないというのは、それは単なるさぼりですから、きちんと準備しておきましょう。

大問5:三角関数
9月の文系の問題では、三角関数の合成を問われることが多かったのですが、令和3年には出ず、「cosineの値がわかってるときに、sineとtangentの値を求めよ。」という、やや手加減された問題が出てきました。

(2)は、sin αとsin βがわかっているときに、αとβを加法定理で分解して「式の値は何であるか。」という問題などが出ます。こちらは本当に典型題という感じで、ほぼ毎年のように出題があります。

(3)は毎年不等式であることが多いですが、令和3年は三角関数を含む方程式でした。方程式の場合はいつもより少し簡単な印象です。

大問6:指数対数
(1)は指数の計算です。

(2)対数の計算で、これも毎年のように出ています。対数の規則がちゃんとわかってるかを問われます。指数対数は言ってしまえば数字なので、ニュアンスとしてはルートの計算に近い感じです。

自然にできるように練習しよう

ルートも最初に習ったときは「なんだこれ」と思ったかもしれません。でも、いろいろ練習していくうちに、普通に計算できるようになっていったはずです。

同じように、この指数や対数の計算も、自然に計算できるぐらいまで練習しておく必要があります。


<自然に計算できるようになるためにはどうしたらいいか?>

基本的には、いっぱい問題解くしかありません。指数対数は、習ってからの時間が短いので難しく感じるのだと思います。

例えば小学校の時に習って時間が経っている分数と同じぐらい練習すれば、指数対数も分数と同程度にも扱えるようになるということです。

とにかく練習を頑張りましょう。

(3)は、対数関数を含む不等式です。ほぼ毎年出題があります。これも手順が完全に決まっているので、その手順に従ってやれば大丈夫です。

大問7
微分積分の問題です。これも毎年ほぼ固定です。

<令和3年の例>
(1):接線の計算。
(2):極大値を求める問題。
(3):「斜線部の面積を求めなさい」という問題。

(2)は、これも毎年出ています。増減表を書けとは言われませんが、極大値を求めるために、結局増減表を書くことになります。

(3)は本当に毎年聞かれます。解法は、大きく分けて2つの方法があります。
①  積分して計算する方法
② 放物線を使って囲まれた部分の面積 =「1/6項式」を使う方法

大問8
令和3年はベクトルの番でした。

あるベクトルが与えられたときの、長さと内積の値を計算する問題です。単なる計算問題なので、やり方を知ってる人はすぐにわかります。やり方がはっきりしない人は、しっかり復習しておく必要があります。

(2)が三角形で、「角の二等分線と、向かい側の辺が交差する点のベクトルを書くとどうなるか」という問題です。角の二等分線と線分比を知っている人からすれば、「要は、内分点を内分点公式を使って、ベクトルを表す問題」だとわかります。

あとは、そのベクトルの長さを内積を使って求める問題になっていて、ひねりのない典型題でした。

 

<総合的に見た難易度>

難易度としては例年並みでした。目新しいことがあったかといえば、それもありませんでした。今後のテストがどうなるかはっきりしたことは言えませんが、大体こんな傾向で続いていくと想定されます。

なぜ同じような傾向が続いていくと予測できる?基礎学のテストは、内部進学の振り分けに利用します。そのため、受験者の点数がばらけないのも、結構困るからです。

たとえば、みんなが「急には難易度が変わらないだろう」と予想して、過去問の練習をしてきているのに、「今年のテストは過去問と全く違うやつを出します」となったら、みんな解けなくなってしまいます。

こうなると、試験結果がみんな同じぐらいの点で固まってしまい、差がつけられなくなります。

だから、基礎学のテストというのは、準備した人はそれなりに取れるテストである必要があります。

そのことから、テストを作る側も急激に傾向を変えることが、おそらくはできないと思われます。

そのうえで、傾向が変わるとわかっているのであれば、おそらく事前にアナウンスがあります。令和2年だったと思いますが、4月に記述の問題が新しく入るときには、事前にアナウンスがあったそうです。

なので、もし例年とはだいぶ違う部分があるときには、おそらくそれとなく、学校の先生がそんなことを言い出すんじゃないかと思います。先生の言うことはよく聞いておきましょう。逆にそういうことを言っていなければ、おそらく例年通りだと思います。

頻出単元

①近年の5カ年中に、5回とも出題されている頻出の単元です。

・平方根の計算
・対象式の利用
・箱ひげ図
・放物線の頂点を求める問題
・二次関数のグラフを平行移動
・極大もしくは極小
・面積を求める問題

それぞれ数Ⅰ、数Ⅱの単元です。過去5カ年より以前にも出題があった単元です。これらに関しては本当に、しっかり練習しておく必要があります。

②5カ年のうち4回出ている、頻出に近い単元は以下です。

・整式の商と余り
・等差数列の一般項
・円の中心と半径
・円と直線が接する条件
・三角関数を含む方程式・不等式
・対数の計算
・対数を含む不等式
・ベクトルの内積、長さ、和

この辺りも、全てしっかりやり方を覚えておきましょう。最悪やり方の丸暗記でもいいから押さえておけば、その部分は点数になるはずです。

③要注意単元です。山かけではないですが、個人的な見立てとして「これは怪しいかもしれない」という箇所を少し紹介します。

・最大公約数、互除法
・三角関数の合成
・等差等比数列の和
・群数列
・漸化式の解法

最大公約数と互除法は、大問1の小問集合(3)で出題があります。2進数の計算か、最大公約数・最小公倍数の互除法の話、循環小数を分数に直すもの、どれかが出ています。

次の出題の予想は立つものの、きれいにローテーションしているわけではありません。その3つを勉強しておけばどれかが出る、という感じです。

三角関数の合成の問題については、令和3年には出題がなかったものの、ほぼ毎年のように出ています。合成の問題は、出題する側からしたら聞いておきたい単元であり、春か秋のどちちかで出題があります。そして令和4年でいえば、春に出ていないので秋に出るかもしれない、と予想が立ちます。

三角関数もネタがそんなにあるわけではなく、過去問を何年分か見ると、出題予想がある程度絞り込めます。そのあたりを全てできるようにしておけば、どれかが出るので解けるはずです。

最後の大問8が数列だった場合、等差等比列型数列の和、群数列、漸化式の解法の3つがローテーションで出ています。

数列の場合は、大体(1)(2)は大したことは聞かれず、(3)が少し難しくなっています。(3)も内容がローテーションになっていて、分数が多数決の和、漸化式の解法などが出題されていました。それから思うに、やはり1問だけは難しい問題になっています。教科書の単元名で「いろいろな数列」に当たる部分です。

しかし、色々な予想も、確実な根拠を持って言っているわけではありません。「何となく」ぐらいのつもりで聞いてくれると良いと思います。結局のところ、一般入試の受験勉強と同じで、出る可能性があるから全部勉強しておきましょう。

早めに対策を始めて、まだ十分に残り時間のあるうちから、しっかり全分野備えておくというのが、正しい態度なのではないかと思います。

おわりに

今回の解説は以上です。究進塾では過去問や予想問題、参考書などを使って基礎学対策を行っています。ご興味のある方は「無料体験授業をご希望の方」からお気軽にご相談ください。

 

究進塾 編集部

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